線性代數

中國水利水電出版社

【作者】主編惠小健王震盧鴻艷

【I S B N 】978-7-5226-0244-8

【責任編輯】張玉玲

【適用讀者群】本專通用

【出版時間】2022-02-21

【開本】16開

【裝幀信息】平裝（光膜）

【版次】第1版第1次印刷

【頁數】188

【千字數】278

【印張】11.75

【定價】￥39

【叢書】普通高等教育“十四五”系列教材

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內容提要

本書主要介紹線性代數的相關知識，包括行列式、矩陣、線性方程組、線性空間、線性變換、特征值與特征向量、矩陣的相似與對角化、二次型等。全書編寫思路清晰，內容取材深廣度合適，具體闡述深入淺出，突出線性代數Maple計算，強調線性空間等抽象理論的基本思想和基本方法，并且各章例題均配有Maple計算程序，幫助讀者進行矩陣計算，增加學習興趣。

本書可作為普通高等院校非數學類本科專業的教材，也可供高校教師、自學考試人員、工程技術人員和科研工作者參考使用。

前言

“線性代數”是高等院校理、工、經、管、農、醫類各專業的基礎課程，也是工程應用數學的重要基礎，主要研究線性方程組及線性空間等相關理論，同時對能夠進行線性運算的量及其相互之間的聯系與規律進行描述。隨著計算技術的大力發展，線性代數在信息、機械、控制、土木、化工、經濟等行業領域應用越來越廣，許多實際問題可以通過離散化的數值算法得到定量解決，并利用程序進行計算，其中很多內容都牽涉到矩陣的相關理論，可以說線性代數是從事科學研究和工程設計等相關工作人員必備的重要數學基礎。

根據現代數學的觀點，代數就是在所考慮的對象之間規定一些運算后得到的數學結構。線性代數涉及的運算主要是稱為加法和數乘的線性運算，這些線性運算須滿足一定的性質進而構成線性空間。現實中大量出現的非線性問題常常需要轉換成線性問題進行處理，如在一定條件下，曲線可用直線近似，曲面可用平面近似，函數增量可用函數的微分近似，所以說線性代數是研究線性科學中的“線性問題”。線性問題的討論往往涉及矩陣和向量，它們是重要的代數工具。在一定的意義上，它們以及其上的一些運算本身就構成線性空間，因此線性代數的研究對象與高等代數、近世代數的研究對象略有不同，它主要研究線性空間及其上的線性變換。

線性代數的內容較抽象，概念和定理較多，前后聯系緊密、環環相扣、相互滲透，但它作為一種數學建模方法，是工程技術人員和科研工作者必須掌握的。尤其在優化問題討論、算法分析與設計、計算機圖形圖像處理、數字信號處理等實際應用中更加突出，使得高等院校各專業都對線性代數的內容從深度和廣度上提出了更高的要求。通過線性代數的學習，可以進一步培養抽象思維能力和邏輯推理能力，為進一步的學習和研究提供必要的理論知識、解題方法和技巧，夯實理論基礎。本書編寫內容突出基本概念、基本理論和基本方法，并且各章例題利用Maple進行了實現，符合國家對線性代數課程改革的要求和基礎課程“金課行動”的改革要求，適度增加課程高階性、創新性和挑戰度。

全書共分6章：行列式、矩陣、向量與線性方程組、相似矩陣、二次型、線性空間與線性變換，以矩陣為工具闡述線性代數的基本概念、基本理論和方法，使內容聯系緊密，具有較強的邏輯性。由于線性代數概念多、結論多、內容較抽象，本書盡量從簡單實例入手，力求通俗易懂、由淺入深，對重點內容提供較多的典型例題，以幫助學生更好地理解、掌握和運用線性代數的知識。每章都有精選習題，有些選自歷年研究生入學考試線性代數題目，書后配有習題答案。

在本書編寫過程中，編者向校內外同行廣泛征求了意見，感謝同行提出的寶貴意見。

由于編者水平有限，書中疏漏之處在所難免，懇請專家和讀者批評指正。

編者

2021年4月于西安

前言

第1章行列式 1
1.1 行列式的定義 1
1.1.1 二階和三階行列式 1
1.1.2 排列 4
1.1.3 n階行列式的定義 5
習題1.1 7
1.2 行列式的基本性質 8
習題1.2 15
1.3 行列式的計算 16
1.3.1 余子式與代數余子式 16
1.3.2 行列式按行（列）展開定理 16
習題1.3 21
1.4 Cramer法則 23
習題1.4 28
第2章矩陣 29
2.1 矩陣的定義與基本運算 29
2.1.1 矩陣的定義 29
2.1.2 幾種特殊矩陣 30
2.1.3 矩陣的加法與減法 31
2.1.4 數乘矩陣 31
2.1.5 矩陣的乘法 33
2.1.6 方陣的冪 35
2.1.7 矩陣的轉置 36
習題2.1 37
2.2 可逆矩陣 38
2.2.1 可逆矩陣的概念 38
2.2.2 逆矩陣的計算 39
2.2.3 可逆矩陣的運算性質 42
習題2.2 45
2.3 分塊矩陣 46
習題2.3 49
2.4 矩陣的初等變換 50
2.4.1 矩陣的初等變換 50
2.4.2 初等矩陣 51
習題2.4 58
2.5 矩陣的秩 59
2.5.1 矩陣的秩的定義 60
2.5.2 矩陣的秩的計算 62
習題2.5 66
第3章向量與線性方程組 68
3.1 線性方程組解的判定 68
3.1.1 非齊次線性方程組解的判定 68
3.1.2 齊次線性方程組解的判定 71
習題3.1 73
3.2 向量組的線性相關性 74
3.2.1 向量及其線性運算 74
3.2.2 線性組合與線性表示 76
3.2.3 線性相關性與線性無關性 78
習題3.2 82
3.3 向量組的秩 83
3.3.1 極大線性無關組 83
3.3.2 矩陣的秩與向量組的秩的關系 85
習題3.3 87
3.4 線性方程組解的結構 88
3.4.1 齊次線性方程組解的結構 88
3.4.2 非齊次線性方程組解的結構 92
習題3.4 96
3.5 向量空間 97
習題3.5 98
第4章相似矩陣 99
4.1 向量的內積與正交向量組 99
4.1.1 向量的內積 99
4.1.2 標準正交基與Schmidt正交化 100
4.1.3 正交矩陣 102
習題4.1 104
4.2 方陣的特征值與特征向量 105
4.2.1 特征值與特征向量的定義 105
4.2.2 特征值與特征向量的求法 105
4.2.3 特征值與特征向量的性質 109
習題4.2 111
4.3 矩陣的相似與對角化 112
4.3.1 相似矩陣 112
4.3.2 矩陣可對角化條件 113
習題4.3 118
4.4 實對稱矩陣的相似對角化 119
4.4.1 實對稱矩陣的特征值與特征向量 119
4.4.2 實對稱矩陣相似對角化 120
習題4.4 124
第5章二次型 125
5.1 二次型及其標準形 125
5.1.1 二次型及其矩陣表示 125
5.1.2 化二次型為標準形 126
5.1.3 化二次型為規范形 132
習題5.1 135
5.2 正定二次型與正定矩陣 136
5.2.1 基本概念 136
5.2.2 正定二次型的判定 137
習題5.2 140
第6章線性空間與線性變換 142
6.1 線性空間及其性質 142
6.1.1 線性空間的定義 142
6.1.2 線性空間的性質 144
習題6.1 144
6.2 線性空間的基與坐標 145
6.2.1 基與坐標的定義 145
6.2.2 基變換與坐標變換 146
習題6.2 151
6.3 線性變換及其運算 152
6.3.1 線性變換的定義 152
6.3.2 線性變換的運算 154
6.3.3 線性變換的矩陣 156
習題6.3 161
習題參考答案 162
參考文獻 177
附錄 Maple簡介 178