本書的誕生是我人生的一個有趣的經(jīng)歷。那段時期我從一個涉世未深的年輕人成長為一個周游列國、結(jié)識了無數(shù)新朋友和同事的軟件開發(fā)者。這一切開始于2001年12月，大約5年前，我開始了一個后來名為LibTomCrypt的項目，該項目被業(yè)內(nèi)廣泛使用。

我從事LibTomCrypt項目的最初目的是想把我的精力集中在某些有建設(shè)性的事情上，同時學(xué)習(xí)一些新技能。從事該項目的第一年，我學(xué)會了如何組織產(chǎn)品、歸檔文件，以及如何進行后續(xù)的支持和維護。大約在2002年冬季，我開始尋求另一個項目以打發(fā)時間。由于意識到LibTomCrypt缺乏數(shù)學(xué)支持，于是著手開發(fā)一個新的數(shù)學(xué)庫。

這樣LibTomMath項目就誕生了。它最初只是現(xiàn)有項目的補丁集，很快就發(fā)展為一個單獨的項目。從頭編寫這個數(shù)學(xué)庫是生產(chǎn)一個穩(wěn)定和獨立的產(chǎn)品的基本原則。我還學(xué)會了哪些算法可用來進行如模冪等這樣的運算。這個庫僅經(jīng)過幾個月的開發(fā)就非常穩(wěn)定和可靠，并且立即投入使用。

2003年夏，我又開始尋找另一個項目。由于意識到只實現(xiàn)這些數(shù)學(xué)例程不足以真正理解它們，于是我開始嘗試自己對它們進行詮釋。在此過程中，我最終掌握了這些算法背后的概念。這些知識正是我想傳遞給讀者們的。本書實際上取材于我自己的網(wǎng)站（www. libtomcrypt.com）上的一些公開素材。

當(dāng)我向別人提起LibTom項目（共有6個）并且告訴他們我準備公開發(fā)布時，他們都覺得很詫異。他們問我為什么這么做，尤其是為什么還要繼續(xù)免費進行下去。我能做出的最好的解釋就是 “因為我能夠”。這對于成人間的對話來說有些奇怪，并且過于簡單。我通常進一步解釋為“我有這個能力，并且我愿意”，這也許更能說明問題。我是第一個承認我所做的并無特殊之處的人，也許還有其他人也這么看，那么我們就可以組成一個令人自豪的小團體。我的LibTom項目是我正在以工具和知識的形式回饋社會、能給他人帶來幫助的東西。

我編寫本書是因為它能進一步實現(xiàn)我的學(xué)術(shù)開放的目標。LibTomMath的源代碼本身很容易領(lǐng)悟和學(xué)習(xí)。但有很多時候，純粹的C代碼不能恰當(dāng)?shù)亟忉尡緯�中的算��。本書首先解釋該庫的基礎(chǔ)，然后再介紹更復(fù)雜的算法。偽代碼和源代碼的同時使用提供了全世界計算機專業(yè)學(xué)生更容易接受的“理論”和“實踐”的雙重結(jié)合。我從未太偏離相對直接易懂的代數(shù)，并且希望本書能成為有價值的學(xué)習(xí)資料。

如果沒有大量好心人在時間、資源以及友善的言辭等方面的幫助，就不可能有本書以及大部分LibTom項目現(xiàn)在的這個樣子。編寫一部長書（以及源代碼）是一個累人且冗長的過程。目前，LibTom已面世5年了，它有成千上萬的使用者，包含了10萬多行源代碼、TEX和其他資料。Mads Rassmussen和Greg Rose從一開始就鼓勵我完成這項工作，有時候別人的認可能極大提升我繼續(xù)完成該項目的勇氣。當(dāng)然，我的父母也給了我很大幫助，在2003年的數(shù)月里為我提供食宿。

Greg和Mads是該項目早期階段的重要支持者。2003年8月發(fā)表的本文初稿是幾個月專職工作的結(jié)晶。長時間的工作，以及還需要去學(xué)校讀書持續(xù)不斷地消耗了我的能量，如果沒有他們的支持，我不可能堅持下去。

當(dāng)然如果沒有各種LibTom項目的成功，也就沒有這本書。它們的成功不僅僅是我努力工作的結(jié)果，還包含了其他成百上千人的貢獻。有Colin Percival、Sky Schultz、Wayne Scott、J Harper、Dan Kaminsky、Lance James、Simon Johnson、Greg Rose、Clay Culver、Jochen Katz、Zhi Chen、Zed Shaw、Andrew Mann、Matt Johnston、Steven Dake、Richard Amacker、Stefan Arentz、Richard Outerbridge、Martin Carpenter、Craig Schlenter、John Kuhns、Bruce Guenter、Adam Miller、Wesley Shields、John Dirk、Jean–Luc Cooke、Michael Heyman、Nelson Bolyard、Jim Wigginton、Don Porter、Kevin Kenny、Peter LaDow、Neal Hamilton、David Hulton、Paul Schmidt、Wolfgang Ehrhardt、Johan Lindt、Henrik Goldman、Alex Polushin、Martin Marcel、Brian Gladman、Benjamin Goldberg、Tom Wu和Pekka Riikonen在項目開發(fā)的各個階段花費了寶貴的時間，貢獻了很多想法、更新、補丁，或者是鼓勵。我要感謝這些年我認識的很多朋友，感謝他們?yōu)槲規(guī)�來的美好時光以及鼓勵。我希望通過本項目向他們表達敬意。

感謝Syngress出版社的編輯們，他們在短短的一周內(nèi)審閱了300多頁的稿子，并且糾正了很多問題。我還要感謝我未曾提到的很多朋友，他們總能給我鼓勵，并且能為我?guī)�來歡樂。感謝我的朋友J Harper、Zed Shaw和Simon Johnson，他們在我交稿之前對本書進行了審閱。感謝Secure Science Corporation的Lance James以及Elliptic Semiconductor的全體同仁們，他們?yōu)槲姨峁┝舜罅康暮笃陂_發(fā)時間，把我送到了Toorcon，并且給我介紹了很多現(xiàn)在我已經(jīng)認識的人。

開放源代碼、開放學(xué)術(shù)、開放思想。

Tom St Denis

多倫多，加拿大

2006年5月

前言
第1章 引言 1
1.1 多精度算術(shù) 1
1.1.1 什么是多精度算術(shù) 1
1.1.2 為什么需要多精度算術(shù) 1
1.1.3 多精度算術(shù)的優(yōu)勢 2
1.2 本書目的 3
1.3 討論和表示法 4
1.3.1 表示法 4
1.3.2 精度表示法 4
1.3.3 算法輸入和輸出 5
1.3.4 數(shù)學(xué)表達式 5
1.3.5 算法的效率 5
1.4 練習(xí) 6
1.5 LibTomMath簡介 7
1.5.1 什么是LibTomMath 7
1.5.2 LibTomMath的目標 7
1.6 為什么選擇LibTomMath 8
1.6.1 代碼基 8
1.6.2 API簡單易懂 8
1.6.3 優(yōu)化 9
1.6.4 可移植性和穩(wěn)定性 9
1.6.5 選擇 10
第2章 入門 11
2.1 庫的基本知識 11
2.2 什么是多精度整數(shù) 12
2.3 參數(shù)傳遞 13
2.4 返回值 14
2.5 初始化和清除 15
2.5.1 初始化mp_int 15
2.5.2 清除mp_int 17
2.6 維護算法 19
2.6.1 增加mp_int的精度 19
2.6.2 初始化可變精度的mp_ints 21
2.6.3 多個整數(shù)的初始化和清除 23
2.6.4 壓縮多余位 24
練習(xí) 26
第3章 基本操作 27
3.1 簡介 27
3.2 為mp_int結(jié)構(gòu)賦值 27
3.2.1 拷貝一個mp_int 27
3.2.2 克隆 30
3.3 將整數(shù)清零 31
3.4 符號操作 32
3.4.1 絕對值 32
3.4.2 整數(shù)取反 33
3.5 小常量 34
3.5.1 設(shè)置小常量 34
3.5.2 設(shè)置大常量 35
3.6 比較 37
3.6.1 無符號數(shù)比較 37
3.6.2 有符號數(shù)比較 39
練習(xí) 40
第4章 基本算法 41
4.1 簡介 41
4.2 加法和減法 41
4.2.1 低級加法 42
4.2.2 低級減法 45
4.2.3 高級加法 49
4.2.4 高級減法 51
4.3 比特和數(shù)字移位 53
4.3.1 乘以2 54
4.3.2 除以2 56
4.4 多項式基運算 58
4.4.1 乘以x 59
4.4.2 除以x 61
4.5 2的冪 63
4.5.1 乘以2的冪 63
4.5.2 除以2的冪 66
4.5.3 除以2的冪的余數(shù) 68
練習(xí) 70
第5章 乘法與平方 72
5.1 乘法器 72
5.2 乘法 72
5.2.1 基線乘法 72
5.2.2 使用Comba方法的快速乘法 77
5.2.3 更快的乘法 82
5.2.4 多項式基乘法 84
5.2.5 Karatsuba乘法 86
5.2.6 Toom-Cook 3-Way乘法 92
5.2.7 有符號乘法 100
5.3 平方 102
5.3.1 基線平方算法 102
5.3.2 使用Comba方法的更快速平方 105
5.3.3 更快的平方 109
5.3.4 多項式基平方 109
5.3.5 Karatsuba平方 109
5.3.6 Toom-Cook平方 114
5.3.7 高級平方 114
練習(xí) 116
第6章 模縮減 117
6.1 �？s減的基礎(chǔ)知識 117
6.2 Barrett縮減 117
6.2.1 定點算法 118
6.2.2 選擇小數(shù)點 119
6.2.3 對商進行縮減 120
6.2.4 對余數(shù)進行縮減 120
6.2.5 Barrett算法 121
6.2.6 Barrett設(shè)置算法 124
6.3 Montgomery縮減 125
6.3.1 基于數(shù)位的Montgomery縮減 127
6.3.2 基線Montgomery縮減 128
6.3.3 較快的“Comba”Montgomery縮減 132
6.3.4 Montgomery設(shè)置 137
6.4 縮減基算法 139
6.4.1 選擇模數(shù) 141
6.4.2 k的選擇 141
6.4.3 受限的縮減基縮減 141
6.4.4 未受限的縮減基縮減 146
6.5 算法比較 150
練習(xí) 151
第7章 冪乘 152
7.1 冪乘基礎(chǔ) 152
7.2 k-ary冪乘 155
7.2.1 k的最優(yōu)值 156
7.2.2 滑動窗冪乘 156
7.3 模冪乘 158
7.4 快速計算2的冪 170
練習(xí) 171
第8章 較高級算法 172
8.1 有余數(shù)的整數(shù)除法 172
8.1.1 商估計 173
8.1.2 歸一化整數(shù) 174
8.1.3 以b為基的帶余數(shù)的除法 174
8.2 單數(shù)位幫助算法 183
8.2.1 單數(shù)位加法和減法 183
8.2.2 單數(shù)位乘法 186
8.2.3 單數(shù)位除法 188
8.2.4 單數(shù)位求根 191
8.3 隨機數(shù)生成 195
8.4 格式化表示形式 197
8.4.1 讀取以n為基的輸入 197
8.4.2 生成以n為基的輸出 200
第9章 數(shù)論算法 203
9.1 最大公約數(shù) 203
9.2 最小公倍數(shù) 208
9.3 Jacobi符號計算 210
9.4 模逆 216
9.5 素性測試 221
9.5.1 試除法 222
9.5.2 Fermat測試 225
9.5.3 Miller-Rabin測試 226
練習(xí) 229
參考文獻 230大數(shù)運算是加密和安全領(lǐng)域必不可少的一部分，要想實現(xiàn)它，既需要相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論知識，又需要一定的編程技巧。對于每一個初學(xué)者，要想掌握它，必定要花費大量時間查閱數(shù)學(xué)書本和C語言教程（也可能是別的語言）。
本書作者為了方便初學(xué)者學(xué)習(xí)及業(yè)內(nèi)人士使用，開發(fā)了一個免費的大數(shù)運算庫，即LibTomMath項目。本書結(jié)合LibTomMath庫，由淺入深，對各種大數(shù)運算的算法進行了闡述。對每一種運算，一般都列出多種算法，并對其性能進行比較。
本書適合于對算法、IT安全、加密領(lǐng)域感興趣的讀者閱讀。

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